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模为素数的同余式与方程之间的联系基于这样一个简单的观察：如果方程
$$
F(x_1, \ldots, x_n)=0
$$
其中 $F$ 是一个具有积分系数的多项式，在整数中有一个解，那么模为素数的同余式
$$
F(x_1, \ldots, x_n) \equiv 0 (\bmod p)
$$
对于任何模数 $p$ 的值都是可解的。由于模为素数的同余式的可解性问题总是可以决定的（即使只能通过试错来决定，因为只有有限多的剩余类），所以我们有一连串在整数中$(0.1)$可解的必要条件。
这些条件的充分性问题要困难得多。一般来说，”当且仅当一个方程可作为任意整数的模为素数的同余式求解时，它才是可解的 “这一断言是错误的，但对于某些特殊的方程类别来说，它是对的。我们可以对 $F$ 是二次方程式的情况下证明这一点，该二次方程式满足一个附加条件，即 $(0.1)$ 可以在实数中求解，这显然是必要的（局部整体原理）。
以质数为模数的同余式的一个显著特点是，以 $p$ 为模数的剩余类构成一个包含 $p$ 元素的有限域。因此，质数的同余式可以作为有限素域上的方程来处理，代数几何方法和数论方法都可以用来研究它们。
单变量 $x$ 的同余理论中的一个基本问题是分解法则的研究问题，它对代数数论、编码理论和其他数学分支具有重要意义
$$
f(x) \equiv f_1(x) \ldots f_r(x)(\bmod p)、
$$
模素数 $p$，将任意整数多项式 $f(x)$ 分解为不可约的因子。
同余式理论的第二个基本问题是变量为 $n \geq 2$ 的素数 $p$ 的同余方程的解的个数问题。
$$
f\left(x_1 \ldots x_n\right) \equiv 0(\bmod p)、
$$
当 $x_i(1 \leq i \leq n)$ 在整个剩余类集合 modulo $p$ 上（完全剩余类系统问题）或在其特定部分上（不完全剩余类系统问题）彼此独立变化。
下面是一些经典的CONGRUENCES WITH PRIME MODULUS题目
$$
\left(x^2-13\right)\left(x^2-17\right)\left(x^2-221\right) \equiv 0(\bmod m)
$$
is solvable for all $m$. It is clear that the equation $\left(x^2-13\right)\left(x^2-17\right)\left(x^2-221\right)=0$ has no integral solutions.
