在实数的基本定义中知道, 实数集 $\mathbb{R}$ 配上距离 $d(x, y)=|x-y|$ 构成度量空间。作为一个全序集， 它也具有序拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是一维的可缩空间（所以也是 连通空间) $、$ 局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的 性贡来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。以下是实数的拓扑性质总览：
- 设 $a \in \mathbb{R}$ 。 $a$ 的邻域是 $\mathbb{R}$ 中一个包括一段含有 $a$ 的线段的子集。
- $\mathbb{R}$ 是可分空间。
- $\mathbb{R}$ 的开集是开区间的并集。
- $\mathbb{R}$ 的紧子集等价于有界闭集（Heine-Borel定理 $)$ 。特别是：所有含端点的有限线段都是紧子 集。
- $\mathbb{R}$ 是连通且单连通的。
- $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中处处稠密。
- 每个 $\mathbb{R}$ 中的有界序列都有收敘子序列 (Bolzano-Weierstrass定理)
- $\mathbb{R}$ 中的连通子集是线段、射线与 $\mathbb{R}$ 本身。由此性质可迅速导出中值定理（MVT定理）。。。。
- 设 $\left(F_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ 是一个有界闭集的序列, 且 $\forall n \in \mathbb{N}\left(F_{n} \supseteq F_{n+1}\right),$ 则其交集非空。 (区间
套定理）
转自$\mathbb{R}$上的拓扑性质。实数轴上的拓扑最为基本同时它又通过笛卡尔乘积的形式诱导了$\mathbb{R}^n$上面的拓扑，所以熟练的掌握它对于后续的学习是非常必要的。
下面是一些典型的Math 115A 第二次assignment（实轴上的拓扑）可能会出现的典型题目。为了证明的简洁性我们引用一些R. Strichartz, “The Way of Analysis,”上面的结论。
$$
0 \cdot x+0 \cdot x=(0+0) x=0 \cdot x
$$
Using
(ii) of Definition 1.1 .1 we have
$$
0 \cdot x+0 \cdot x+0 \cdot(-x)=0 \cdot x+0 \cdot(-x)
$$
Using $(\mathrm{D}),(\mathrm{A} 4),(\mathrm{A} 5)$ we have
$$
0 \cdot x+0 \cdot(x+(-x))=0 \cdot(x+(-x)) \Longleftrightarrow 0 \cdot x=0
$$
Now back to the original problem. Since $x<0$ we have $(-x)+x<0+(-x)$ by (ii), so $0<-x$ by
(A4) and (A5). Since $y<z$ we have $y+(-y)<z+(-y)$ by (ii) and so $0<z+(-y)$ by (A5). By (ii) of Definition 1.1 .7 we then have $(-x)(z+(-y))>0 .$ Using $(\mathrm{D})$ and (ii) of Definition 1.1 .1 we have
$$
(-x) z+(-x)(-y)>0 \Longrightarrow(-x) z+(-x)(-y)+x(-y)>(-x)(-y)+x(-y)
$$
Using $(\mathrm{D}),(\mathrm{A} 5)$ and $0 \cdot x=0$ we have
$$
(-x) z+((-x)+x)(-y)>x(-y) \Longrightarrow(-x) z+0 \cdot(-y)>x(-y) \Longrightarrow(-x) z>x(-y)
$$
Two applications of (ii) of Definition 1.1 .1 gives
$$
(-x) z+x z+x y>(-x) y+x z+x y
$$
Using (A2) and (D) we have
$$
((-x)+x) z+x y>((-x)+x) y+x z
$$
Finally using $($ A5 $)$ and $0 \cdot x=0$ we get
$$
0 \cdot z+x y>0 \cdot y+x y \Longrightarrow x y>x z
$$
which is what we want to prove.
Let $x, y \in \mathbb{R}$ satisfy $x^{2}+y^{2}=0$ show that $x=y=0$.
Use induction to show that for any $x \in \mathbb{R}$ if $1+x>0,$ then $(1+x)^{n} \geq 1+n x$.
When $n=1$ we have $(1+x)^{n}=1+x$ so the inequality holds (and is actually a equality). Suppose the claim is true for $n,$ then
$(1+x)^{n+1}=(1+x)^{n}(1+x) \geq(1+n x)(1+x)=1+n x+x+n x^{2}=1+(n+1) x+n x^{2}>1+(n+1) x$
so the claim holds true for $n+1$ as well.
For $x, y \in \mathbb{R}$ show that
$$
\max \{x, y\}=\frac{1}{2}(x+y+|x-y|) \text { and } \min \{x, y\}=\frac{1}{2}(x+y-|x-y|)
$$
$$
\frac{1}{2}(x+y+|x-y|)=\frac{1}{2}(x+y+x-y)=\frac{1}{2}(2 x)=x
$$
Similarly if $y \geq x$ then $\max \{x, y\}=y$ and
$$
\frac{1}{2}(x+y+|x-y|)=\frac{1}{2}(x+y+y-x)=\frac{1}{2}(2 y)=y
$$
The second statement is proven similarly.
Let $A$ be a non-empty set and $f, g: D \rightarrow \mathbb{R}$ be two bounded functions. Show that
$$
\sup _{x \in D}(f(x)+g(x)) \leq \sup _{x \in D} f(x)+\sup _{x \in D} g(x)
$$
Give an example to show the inequality can be strict.
$$
\sup _{x \in D}(f(x)+g(x))<f\left(x_{0}\right)+g\left(x_{0}\right)+\varepsilon \leq \sup _{x \in D} f(x)+\sup _{x \in D} g\left(x_{0}\right)+\varepsilon
$$
Since this is true for any $\varepsilon$ we see that
$$
\sup _{x \in D}(f(x)+g(x)) \leq \sup _{x \in D} f(x)+\sup _{x \in D} g\left(x_{0}\right)
$$
Let $D=\{1,-1\}, f(1)=1, f(-1)=-1$ and $g(1)=-1, g(-1)=1,$ then $f+g$ is identically $0,$ so
$0=\sup _{x \in D}(f(x)+g(x)) \leq \sup _{x \in D} f(x)+\sup _{x \in D} g\left(x_{0}\right)=1+1=2$
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