这是Math 150B，abstract agebra的一次作业分析。
Let $I$ and $J$ be ideals in a ring $R$. Prove that $I+J=\{a+b \mid a \in I, b \in J\}$ is an ideal.
根据理想的定义，验证$I+J=\{a+b \mid a \in I, b \in J\}$是理想，就是两个性质的简单验证，根据定义按部就班就行。
Let $I$ and $J$ be ideals in a ring $R$. Show that $\{a b \mid a \in I, b \in J\}$ is not always an ideal with an example. Hint: Consider $I=J=(2, x)$ in $\mathbb{Z}[x]$.
构造一个反例说明两个理想的乘积不一定是理想，这是很自然的，因为理想的乘积不一定满足加法封闭性。
Remark：类似的例子是构造笛卡尔测度的时候，是用slice的sigma代数的生成元的笛卡尔积生成的最小sigma代数然后才是sigma代数封闭的，这在测度论里面也很重要，对应的是经典的单调类trick。
Prove that if $I$ is a maximal ideal in a ring $R$ (meaning the only ideal which properly contains $I$ is $R$ ), then $R / I$ is a field. Hint: Use the Correspondence Theorem.
主要还是理解商环的定义，构造一个环到商环的自然映射之后剩下的是基本的概念的验证。
Let $\alpha \in \mathbb{C}$ be the real root of $x^{3}-2 x+5 .$ Express $(\alpha+1)\left(\alpha^{3}-2\right) \in \mathbb{Z}[\alpha]$
in terms of the basis $\left\{1, \alpha, \alpha^{2}\right\}$ for $\mathbb{Z}[\alpha]$ over $\mathbb{Z}$.
简单的带未知变量的加减乘除计算，小学难度。
Identify the ring $\mathbb{Z}[x] /\left(x-2, x^{2}+1\right)$.
简单的模运算，小学高年级难度。
Math 150B abstract agebra
上课听不懂lecturer ?
笔记也看不懂？
Theory 太多 …Practice题目有点hold 不住？
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