这是一次UCL伦敦大学学院表示论MATH0073 Representation Theory课程的代写成功案例
在自然界中，群是作为”（物体）对称性的集合而产生的，这些对称性在组合和取反时是封闭的”。例如，对称群$S_n$是${1, \ldots, n}$ 的所有排列（对称）的群；交替群$A_n$是保持有序对的奇偶性的所有对称的集合（您真的记得这个吗？正交群 $\mathrm{O}(3)$ 是欧几里得空间中固定原点的保距变换群。还有所有保距变换的组，其中包括平移和 $\mathrm{O}(3) .^1$
当然, 官方定义更为抽象, 群是具有二元运算 * 的集合 $G$,该运算是联立的, 具有单位元素 $e$,并且存在反函数. 联立性允许我们方便地滥用符号, 我们用$g h$表示$g * h$;我们有$g h k=(g h) k=g(h k)$ 而括号是不必要的. 我经常把$e$写成1, 但这在极少数情况下是危险的, 例如在研究加法下的$\mathbb{Z}$群时; 在这种情况下, $e=0$。
尽管定义很抽象, 但有趣的情况是群 “作用 “于集合. 形式上, 群 $G$ 对集合 $X$ 的作用是一个 “作用映射” $a： G \times X \rightarrow X$，它与群法相容，在这个意义上说
$$
a(h, a(g, x))=a(h g, x) \quad \text { and } a(e, x)=x .
$$
这就证明了$a(g, x)=g . x$或甚至$g x$的滥用符号是合理的, 因为我们有$h(g x)=(h g) x$。
从这个角度看，几何学问：”给定一个几何对象$X$，它的对称群是什么？表征理论将问题反转为 “给定一个群$G$, 它作用于什么对象$X$? “并试图通过将这样的$X$分类到同构来回答这个问题。
For any $g \in G$,
$\chi_{\operatorname{Sym}^2 V}(g) & =\left[\chi_V(g)^2+\chi_V\left(g^2\right)\right] / 2$，
$\chi_{\Lambda^2 V}(g) & =\left[\chi_V(g)^2-\chi_V\left(g^2\right)\right] / 2 .$
\end{aligned}
$$
Proof. Having fixed $g$, we choose a basis of $V$ on which $g$ acts diagonally, with eigenvalues $\lambda_1, \ldots, \lambda_d$, repeated as necessary. From our bases of $\operatorname{Sym}^2 V, \Lambda^2 V$, we see that the eigenvalues of $g$ on the two spaces are $\lambda_p \lambda_q$, with $1 \leq p \leq q \leq d$ on Sym ${ }^2$ and with $1 \leq p<q \leq d$ on $\Lambda^2$. Then, the proposition reduces to the obvious identities
$2 \sum_{p \leq q} \lambda_p \lambda_q & =\left(\sum \lambda_p\right)^2+\sum \lambda_p^2$,
$2 \sum_{p<q} \lambda_p \lambda_q & =\left(\sum \lambda_p\right)^2-\sum \lambda_p^2 $.
1) Infinite dimensional Schur lemma. Let $A$ be a countable dimensional algebra over an uncountable algebraically closed field $\mathbb{F}$. Let $V$ be an infinite dimensional irreducible $A$-module. We want to prove that $\operatorname{End}_A(V)=\mathbb{F}$.
1) Show that $V$ is countable dimensional .
2) Show that $\operatorname{End}_A(V)$ is at most countable dimensional.
3) Now let $\varphi \in \operatorname{End}_A(V)$ be a non-constant element. Show that $\varphi-z$ is invertible for any $z \in \mathbb{F}$. Show that the elements $(\varphi-z)^{-1}, z \in \mathbb{F}$, are linearly independent.
4) Prove that $\operatorname{End}_A(V)=\mathbb{F}$ .
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