Use the mean value theorem to prove inequality?

Question

4.06K 浏览2021年5月4日mathematics

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admin 166 2021年5月4日 0条评论

Use the mean value theorem to show that
$1-\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \leq x^{2}, \quad x>0$

admin 更改状态以发布 2021年5月4日

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admin · Answer 1 · 2021-05-04T04:49:29+00:00

If $f(x)=\left(1+x^{2}\right)^{-1 / 2}$ , then, $f(x)-f(0)=f^{\prime}(c)(x-0)$ with $0<c<x$ . Since $f^{\prime}(c)=-c\left(1+c^{2}\right)^{-3 / 2}>-c>-x$ for $x>0$ ,
$\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}-1=f^{\prime}(c) x \geq-x^{2}$
which implies the result.

Use the mean value theorem to prove inequality?

Published by admin on 2021年5月4日

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